Regra de Três: Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais: Exemplo De Regra De Tres Com Grandezas Inversamente E Diretamente
Exemplo De Regra De Tres Com Grandezas Inversamente E Diretamente – A regra de três é uma ferramenta matemática fundamental para resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre grandezas. Ela simplifica a resolução de problemas cotidianos, desde cálculos de receitas até a determinação de custos em projetos de construção. Neste artigo, exploraremos a regra de três, diferenciando grandezas diretamente e inversamente proporcionais, e aplicando-a em diversos contextos.
Introdução à Regra de Três
A regra de três simples é um método prático para encontrar um valor desconhecido em uma proporção, considerando três valores conhecidos. Ela se baseia na ideia de proporcionalidade, onde a relação entre duas grandezas permanece constante. Distinguimos dois tipos de proporcionalidade: direta e inversa.
Em grandezas diretamente proporcionais, o aumento de uma grandeza implica no aumento proporcional da outra, e vice-versa. Por exemplo, se dobrarmos a quantidade de ingredientes em uma receita, dobramos também a quantidade final do prato. Já em grandezas inversamente proporcionais, o aumento de uma grandeza resulta na diminuição proporcional da outra, e vice-versa. Um exemplo disso é a relação entre a velocidade e o tempo para percorrer uma distância fixa: se aumentarmos a velocidade, diminuímos o tempo de viagem.
Exemplo de problema com grandezas diretamente proporcionais: Se 3 operários constroem uma casa em 12 meses, quantos meses serão necessários para 6 operários construírem a mesma casa? (Considerando que todos os operários trabalham no mesmo ritmo).
Resolução:
- Identificação das grandezas: Operários (x) e Meses (y)
- Verificação da proporcionalidade: Aumentando o número de operários, o tempo de construção diminui, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.
- Montagem da proporção: 3 operários / 12 meses = 6 operários / x meses
- Resolução da equação: 3x = 6
12 => 3x = 72 => x = 24 meses
Portanto, 6 operários levarão 24 meses para construir a casa.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Em grandezas diretamente proporcionais, a razão entre as grandezas permanece constante. Se uma grandeza aumenta (ou diminui), a outra aumenta (ou diminui) na mesma proporção.
| Problema | Dados | Resolução | Resposta |
|---|---|---|---|
| Se 2 kg de maçãs custam R$ 10,00, quanto custarão 5 kg? | 2 kg = R$ 10,00; 5 kg = x | 2/10 = 5/x; 2x = 50; x = 25 | R$ 25,00 |
| Um carro percorre 100 km com 5 litros de gasolina. Quantos litros serão necessários para percorrer 300 km? | 100 km = 5 litros; 300 km = x litros | 100/5 = 300/x; 100x = 1500; x = 15 | 15 litros |
| Se 3 padeiros produzem 100 pães em uma hora, quantos pães 6 padeiros produzem na mesma hora? | 3 padeiros = 100 pães; 6 padeiros = x pães | 3/100 = 6/x; 3x = 600; x = 200 | 200 pães |
Grandezas Inversamente Proporcionais
Em grandezas inversamente proporcionais, o produto das grandezas permanece constante. Se uma grandeza aumenta, a outra diminui proporcionalmente, e vice-versa.
Exemplo 1: 5 trabalhadores pintam uma casa em 10 dias. Quantos dias serão necessários para 2 trabalhadores pintarem a mesma casa?
Resolução: 5 trabalhadores
– 10 dias = 50 unidades de trabalho. Para 2 trabalhadores, 50 unidades de trabalho / 2 trabalhadores = 25 dias.
Exemplo 2: Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se abrir mais uma torneira com a mesma vazão, em quanto tempo o tanque será cheio?
Resolução: Uma torneira enche em 6 horas. Duas torneiras encherão em 6 horas / 2 torneiras = 3 horas.
A resolução de problemas com grandezas inversamente proporcionais envolve o produto constante, enquanto em grandezas diretamente proporcionais, a razão entre as grandezas é constante.
Problemas Combinados (Direta e Inversa)
Um problema pode envolver ambas as proporcionalidades. Por exemplo: Uma equipe de 10 operários, trabalhando 8 horas por dia, constrói uma ponte em 30 dias. Quantos dias serão necessários para 15 operários construírem a mesma ponte, trabalhando 6 horas por dia?
Resolução: Primeiro, calculamos o total de horas de trabalho: 10 operários
– 8 horas/dia
– 30 dias = 2400 horas. Depois, calculamos o número de dias para 15 operários trabalhando 6 horas por dia: 2400 horas / (15 operários
– 6 horas/dia) = 2400 horas / 90 horas/dia = 26,67 dias. Aproximadamente 27 dias.
Ilustração descritiva: Imagine um gráfico de barras. Uma barra representa o número de operários, outra o número de horas trabalhadas por dia, e a terceira o número de dias para construir a ponte. A relação entre operários e dias é inversamente proporcional (mais operários, menos dias), enquanto a relação entre horas trabalhadas por dia e dias é inversamente proporcional (mais horas, menos dias).
A área total sob as barras representa o total de horas de trabalho, que permanece constante.
Aplicações da Regra de Três no Cotidiano
A regra de três é amplamente aplicada em diversas situações do dia a dia. Compreender a regra de três é essencial para resolver problemas em várias áreas.
- Receitas culinárias: Aumentar ou diminuir a quantidade de ingredientes (diretamente proporcional).
- Consumo de combustível: Calcular a quantidade de combustível necessária para uma viagem (diretamente proporcional).
- Construção civil: Estimar o tempo de execução de uma obra considerando o número de trabalhadores (inversamente proporcional).
Exemplo contextualizado (culinária): Uma receita de bolo precisa de 2 xícaras de farinha para 12 porções. Quantas xícaras de farinha são necessárias para fazer 18 porções?
Resolução: 2 xícaras / 12 porções = x xícaras / 18 porções; 12x = 36; x = 3 xícaras.
Exercícios Propostos, Exemplo De Regra De Tres Com Grandezas Inversamente E Diretamente
Resolva os exercícios a seguir, aplicando os conceitos de regra de três com grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Exercício 1 (Fácil): Se 10 máquinas produzem 500 peças em 2 horas, quantas peças 20 máquinas produzem no mesmo tempo?
Resposta: 1000 peças. (Grandezas diretamente proporcionais)
Exercício 2 (Médio): 4 pedreiros constroem um muro em 12 dias. Quantos dias serão necessários para 6 pedreiros construírem o mesmo muro?
Resposta: 8 dias. (Grandezas inversamente proporcionais)
Exercício 3 (Difícil): Uma equipe de 8 engenheiros, trabalhando 6 horas por dia, completa um projeto em 20 dias. Se a equipe for reduzida para 6 engenheiros e eles trabalharem 8 horas por dia, em quantos dias o projeto será concluído?
Resposta: 20 dias. (Proporcionalidade combinada)
O que acontece se eu inverter as grandezas por engano?
Seu resultado estará completamente errado! É crucial identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais antes de aplicar a fórmula.
A regra de três funciona apenas com dois valores conhecidos?
Não necessariamente. A regra de três pode ser adaptada para problemas com mais de duas grandezas conhecidas, utilizando-se de proporções compostas.
Existe um limite para o tamanho dos números usados na regra de três?
Não há limite, desde que você consiga realizar as operações matemáticas envolvidas. Calculadoras e softwares podem auxiliar em problemas com números muito grandes.