Exemplo De FunçãO Do Segundo Grau Q Passa Pela Origem

Exemplo De Função Do Segundo Grau Q Passa Pela Origem – Exemplo De Função Do Segundo Grau Que Passa Pela Origem representa um caso especial dentro do estudo das funções quadráticas, onde o gráfico da função intercepta o eixo y na origem do sistema cartesiano. Esta característica implica que o termo independente da equação da função é zero, o que simplifica a análise e a aplicação da função em diversos contextos.

Neste estudo, exploraremos as propriedades e o comportamento de funções do segundo grau que passam pela origem, aprofundando o entendimento de suas características e aplicações práticas. Investigaremos como encontrar a equação da função a partir de informações específicas, como pontos dados ou o vértice da parábola, e analisaremos o gráfico da função para determinar seus pontos de intersecção, o vértice e a forma da parábola.

Introdução à Função do Segundo Grau

A função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, é uma função polinomial de grau 2. Sua forma geral é dada por:

f(x) = ax² + bx + c

onde a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0. O coeficiente a determina a concavidade da parábola, b influencia a posição do vértice e c é o termo independente, que representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Características do Gráfico da Função do Segundo Grau

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola, uma curva simétrica em forma de U. As características da parábola são:

• Concavidade:Se a > 0, a parábola é voltada para cima (convexa). Se a < 0, a parábola é voltada para baixo (côncava).
• Vértice:O ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo da concavidade. As coordenadas do vértice são (-b/2a, f(-b/2a)).
• Eixo de Simetria:Uma linha vertical que divide a parábola ao meio, passando pelo vértice. A equação do eixo de simetria é x = -b/2a.
• Intersecção com o Eixo y:O ponto onde a parábola cruza o eixo y. As coordenadas são (0, c).
• Intersecção com o Eixo x:Os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Para encontrar esses pontos, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0.

Função do Segundo Grau que Passa pela Origem

Uma função do segundo grau passa pela origem quando o termo independente (c) é igual a zero. Isso ocorre porque, quando x = 0, a função assume o valor f(0) = c. Se c = 0, então f(0) = 0, o que significa que o gráfico da função passa pelo ponto (0, 0), que é a origem do sistema cartesiano.

Exemplos de Equações

Alguns exemplos de equações de funções do segundo grau que passam pela origem:

• f(x) = 2x²
• f(x) = -3x²
• f(x) = x² – 4x

Comportamento da Parábola

O comportamento da parábola quando o coeficiente a é positivo ou negativo é o seguinte:

• a > 0:A parábola é voltada para cima (convexa) e passa pela origem. O vértice está localizado no eixo y.
• a < 0:A parábola é voltada para baixo (côncava) e passa pela origem. O vértice está localizado no eixo y.

Encontrando a Equação da Função: Exemplo De Função Do Segundo Grau Q Passa Pela Origem

É possível encontrar a equação da função do segundo grau a partir de dois pontos dados ou a partir do vértice e de um outro ponto.

A partir de Dois Pontos

Para encontrar a equação da função do segundo grau a partir de dois pontos dados, podemos seguir os seguintes passos:

1. Substituir as coordenadas dos dois pontos na forma geral da função (f(x) = ax² + bx + c).
2. Resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas (a, b e c).
3. Substituir os valores encontrados de a, b e c na forma geral da função.

Exemplo

Encontre a equação da função do segundo grau que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 5).

1. Substituindo os pontos na forma geral da função, temos:
• 2 = a(1)² + b(1) + c
• 5 = a(2)² + b(2) + c
2. Simplificando as equações, obtemos:
• a + b + c = 2
• 4a + 2b + c = 5
3. Resolvendo o sistema de equações, encontramos a = 3, b =
   

   4 e c = 3.

4. Portanto, a equação da função do segundo grau é:

f(x) = 3x²

4x + 3

A partir do Vértice e de um Outro Ponto

Para encontrar a equação da função do segundo grau a partir do vértice e de um outro ponto, podemos seguir os seguintes passos:

1. Substituir as coordenadas do vértice na forma geral da função (f(x) = ax² + bx + c).
2. Substituir as coordenadas do outro ponto na forma geral da função.
3. Resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b).
4. Substituir os valores encontrados de a e b na forma geral da função.

Aplicações da Função do Segundo Grau

A função do segundo grau tem diversas aplicações em áreas como física, engenharia e economia. Algumas situações reais onde a função do segundo grau é utilizada:

• Física:O movimento de um objeto lançado verticalmente é descrito por uma função do segundo grau. A altura do objeto em relação ao tempo é dada por h(t) = -gt² + vt + h₀, onde g é a aceleração da gravidade, v é a velocidade inicial e h₀ é a altura inicial.

• Engenharia:A função do segundo grau é utilizada para modelar a trajetória de um projétil, o formato de uma ponte suspensa ou a forma de uma antena parabólica.
• Economia:A função do segundo grau pode ser utilizada para modelar a relação entre a quantidade de um produto e o seu preço, ou para analisar o lucro de uma empresa.

Formas de Representação

A função do segundo grau pode ser representada de diferentes formas:

• Equação:f(x) = ax² + bx + c
• Gráfico:Uma parábola
• Tabela:Uma tabela de valores que relaciona os valores de x e f(x)

Analisando o Gráfico da Função

O gráfico da função do segundo grau fornece informações importantes sobre a função. Podemos analisar o gráfico para identificar:

Pontos de Intersecção

• Intersecção com o eixo y:O ponto onde a parábola cruza o eixo y. As coordenadas são (0, c).
• Intersecção com o eixo x:Os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Para encontrar esses pontos, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0.

Vértice

O vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo da curva, dependendo da concavidade. As coordenadas do vértice são (-b/2a, f(-b/2a)).

Criando um Gráfico

Para criar o gráfico da função do segundo grau que passa pela origem, podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o vértice da parábola.
2. Determinar a concavidade da parábola (a > 0 ou a < 0).
3. Encontrar os pontos de intersecção com os eixos x e y.
4. Plotar os pontos encontrados e traçar a parábola que passa por esses pontos.